Calcolo Esempi

$\int x {(2 x - 1)}^{7} d x$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questo integrale usando l'integrazione per parti. Mathway userà un metodo diverso.

Passaggio 2

Sia $u = 2 x - 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 2 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) u^{7} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

$\frac{1}{2}$ e $u^{7}$ .

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{7}}{2} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{u}{2}$ per $\frac{u^{7}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{7}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Passaggio 4.3

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{7}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Passaggio 4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{u^{1 + 7}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Passaggio 4.5

Somma $1$ e $7$ .

$\int \frac{u^{8}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Passaggio 4.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \frac{u^{8}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Passaggio 4.7

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{u^{7}}{2}$ .

$\int \frac{u^{8}}{4} + \frac{u^{7}}{2 \cdot 2} d u$

Passaggio 4.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \frac{u^{8}}{4} + \frac{u^{7}}{4} d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{u^{8}}{4} d u + \int \frac{u^{7}}{4} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int u^{8} d u + \int \frac{u^{7}}{4} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{8}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \int \frac{u^{7}}{4} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{4} \int u^{7} d u$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{7}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{9} u^{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 9} u^{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\frac{1}{36} u^{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{36} u^{9} + \frac{1}{4 \cdot 8} u^{8} + C$

Passaggio 10.2.4

Moltiplica $4$ per $8$ .

$\frac{1}{36} u^{9} + \frac{1}{32} u^{8} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 1$ .

$\frac{1}{36} {(2 x - 1)}^{9} + \frac{1}{32} {(2 x - 1)}^{8} + C$