Calcolo Esempi

$e^{\sqrt{\cos (x)}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\cos (x)}$ come ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\cos (x)$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\cos (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${\cos (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{\cos (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 8.3

Sposta ${\cos (x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 9

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (x))$

Passaggio 10

$\frac{e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sin (x)$ .

$- \frac{e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} \sin (x)}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$