Calcolo Esempi

$y = arcsec (\sqrt{3 x^{3}})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 x^{3}}$ come ${(3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = arcsec ({(3 x^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arcsec ({(3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec ({(3 (x^{3}))}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $3 (x^{3})$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} {(x^{3})}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{3 (\frac{1}{2})})]$

Passaggio 4.1.2.2.2

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = arcsec (x)$ e $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.2.2

La derivata di $arcsec (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{3 (\frac{1}{2})})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.2.3.2

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $3^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 4.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

$3^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 4.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 4.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.8

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.9

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$ per $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1} \cdot 2}$

Passaggio 4.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot (x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1})}$

Passaggio 4.10.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1} x^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.11

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Moltiplica $x^{\frac{3}{2}}$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Passaggio 4.11.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Passaggio 4.11.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2 x^{\frac{- 1 + 3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Passaggio 4.11.1.4

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{2}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Passaggio 4.11.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{3}{2 x^{1} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Passaggio 4.11.2

Semplifica $2 x^{1} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Passaggio 4.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.1

Applica la regola del prodotto a $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Passaggio 4.12.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Passaggio 4.12.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Passaggio 4.12.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{1} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Passaggio 4.12.2.2

Calcola l'esponente.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Passaggio 4.12.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} - 1}}$

Passaggio 4.12.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} - 1}}$

Passaggio 4.12.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$

Passaggio 4.12.3

Moltiplica $\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$ per $\frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}} \cdot \frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$

Passaggio 4.12.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.4.1

Moltiplica $\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$ per $\frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1} \sqrt{3 x^{3} - 1}}$

Passaggio 4.12.4.2

Sposta $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (\sqrt{3 x^{3} - 1} \sqrt{3 x^{3} - 1})}$

Passaggio 4.12.4.3

Eleva $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x ({\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1} \sqrt{3 x^{3} - 1})}$

Passaggio 4.12.4.4

Eleva $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x ({\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1} {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1})}$

Passaggio 4.12.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.12.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{2}}$

Passaggio 4.12.4.7

Riscrivi ${\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{2}$ come $3 x^{3} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ come ${(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {({(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.12.4.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.12.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.12.4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.12.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{1}}$

Passaggio 4.12.4.7.5

Semplifica.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$