Calcolo Esempi

$\int_{- 1}^{1} (1 + \sqrt{1 - x^{2}}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int_{- 1}^{1} 1 + \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{1} d x + \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 4

Sia $x = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 5.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Passaggio 5.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Passaggio 5.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 5.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 10

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 10.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 10.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 10.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = - π$

Passaggio 10.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 10.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 10.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 10.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Passaggio 10.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 11

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Passaggio 13

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Passaggio 14

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 14.1

Calcola $x$ per $1$ e per $- 1$ .

$(1) + 1 + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Passaggio 14.2

Calcola $t$ per $\frac{π}{2}$ e per $- \frac{π}{2}$ .

$(1) + 1 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Passaggio 14.3

Calcola $\sin (u)$ per $π$ e per $- π$ .

$(1) + 1 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 14.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Somma $1$ e $1$ .

$2 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 14.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 + \frac{1}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 14.4.3

Somma $π$ e $π$ .

$2 + \frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 14.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 + \frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 14.4.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Passaggio 15.1.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Passaggio 15.1.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Passaggio 15.1.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Passaggio 15.1.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Passaggio 15.1.2

Somma $0$ e $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Passaggio 15.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + 0)$

Passaggio 15.2

Somma $π$ e $0$ .

$2 + \frac{1}{2} π$

Passaggio 15.3

$\frac{1}{2}$ e $π$ .

$2 + \frac{π}{2}$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 + \frac{π}{2}$

Forma decimale:

$3.57079632 \dots$

Passaggio 17