Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \cos (x)}{2 x - π}$

Passaggio 1

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{2 x - π}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$3 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$3 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$3 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Passaggio 2.1.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Passaggio 2.1.3.1.3

Calcola il limite di $π$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$3 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Passaggio 2.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$3 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 \frac{0}{π - π}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{2 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Passaggio 2.3.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + 0}$

Passaggio 2.3.6

Somma $2$ e $0$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)$

Passaggio 3.2

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)$

Passaggio 3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$3 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$3 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 5.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{2} \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{- 3}{2} \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2} \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 5.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot 1$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{3}{2}$

Forma decimale:

$- 1.5$