Calcolo Esempi

$y = \frac{4 \sqrt{x}}{x - 2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}]$

Passaggio 1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 2$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 8.3

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 11

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 12

Riduci le frazioni.

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Passaggio 12.1

Somma $1$ e $0$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 12.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 12.3

$4$ e $\frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 ((x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.3.1.1

$x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 13.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.3

$2$ e $\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.4

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 13.3.1.5.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x^{- \frac{1}{2}} x) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.5.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 13.3.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2} + 1} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.5.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.5.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 13.3.1.6.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.7

Riscrivi $- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.8

Moltiplica $4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

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Passaggio 13.3.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.8.2

$- 4$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.10

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 x^{\frac{1}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.3.2

Sottrai $4 x^{\frac{1}{2}}$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.4.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Passaggio 13.4.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.4.1.2

Scomponi $- 2$ da $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.4.1.3

Scomponi $- 2$ da $- 2 (x^{\frac{1}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} - \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} - - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.4.3

Moltiplica $- - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.4.3.2

Moltiplica $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.4.4

Per scrivere $x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.6.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.6.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.4.6.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.4.6.1.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{2}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.4.6.1.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{- 2 \frac{x^{1} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.4.6.2

Semplifica $x^{1}$ .

$\frac{- 2 \frac{x + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.5

$- 2$ e $\frac{x + 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{- 2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 13.8

Moltiplica $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ per $\frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.9

Riordina i fattori in $- \frac{2 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}} {(x - 2)}^{2}}$