Calcolo Esempi

$\int x^{5} \sqrt{2 x^{6} + 3} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x^{6} + 3$ . Allora $d u = 12 x^{5} d x$ , quindi $\frac{1}{12} d u = x^{5} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x^{6} + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x^{6} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{6} + 3]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{6} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{6}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{6}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$2 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $6$ per $2$ .

$12 x^{5} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{5} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $12 x^{5}$ e $0$ .

$12 x^{5}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{12}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{12} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{12} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ come $\frac{1}{18} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{18} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{6} + 3$ .

$\frac{1}{18} {(2 x^{6} + 3)}^{\frac{3}{2}} + C$