Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x^{3} \ln ({(3 + x^{4})}^{4})}{3 + x^{4}} d x$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{2 x^{3} \ln ({(3 + x^{4})}^{4})}{3 + x^{4}}$ come $\frac{2 x^{3} (4 \ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}}$ .

$\int \frac{2 x^{3} (4 \ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

Passaggio 2

Poiché $2 \cdot 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2 \cdot 4$ fuori dall'integrale.

$2 \cdot 4 \int \frac{x^{3} (\ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

Passaggio 3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 \int \frac{x^{3} (\ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = 3 + x^{4}$ . Allora $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = 3 + x^{4}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $3 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + x^{4}]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Passaggio 4.1.5

Somma $0$ e $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 4} d u_{1}$

Passaggio 5.2

Sposta $4$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{4 u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{1}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{4}$ e $8$ .

$\frac{8}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 (1)} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 7.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , quindi $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Passaggio 8.1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 10.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 10.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica ${u_{2}}^{2}$ per $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (u_{1})$ .

$\ln^{2} (u_{1}) + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 + x^{4}$ .

$\ln^{2} (3 + x^{4}) + C$