Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Passaggio 2

Riordina $4 x^{2}$ e $9$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{9 + 4 x^{2}} d x$

Passaggio 3

Scomponi $4$ da $9 + 4 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $4$ da $9$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 x^{2}} d x$

Passaggio 3.2

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

Passaggio 3.3

Scomponi $4$ da $4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + x^{2})} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{\frac{9}{4} + x^{2}} d x$

Passaggio 5

Riscrivi $\frac{9}{4}$ come ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} 1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (x \frac{2}{3})]_{0}^{t}$

Passaggio 7.1.4

$x$ e $\frac{2}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x \cdot 2}{3})]_{0}^{t}$

Passaggio 7.1.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot x}{3})]_{0}^{t}$

Passaggio 7.1.6

$\frac{2}{3}$ e $\arctan (\frac{2 x}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$

Passaggio 7.1.7

$\frac{1}{4}$ e $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}}{4}$

Passaggio 7.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Calcola $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}$ per $t$ e per $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3}) - \frac{2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{3})}{3}}{4}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{3})}{3}}{4}$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3}}{4}$

Passaggio 7.2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Passaggio 7.2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Passaggio 7.2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{1})}{3}}{4}$

Passaggio 7.2.2.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Passaggio 7.2.2.3

Moltiplica $\frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Passaggio 7.2.2.4

Combina.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 (\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.2.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.2.7

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 3 \frac{2 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.2.8

$- 3$ e $\frac{2 \arctan (0)}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 3 (2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.2.9

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 6 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.2.10

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.10.1

Scomponi $3$ da $- 6 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 (1)}}{3 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 2 \arctan (0)}{1}}{3 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.2.10.2.4

Dividi $- 2 \arctan (0)$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{3 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.2.11

Moltiplica $3$ per $4$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{12}$

Passaggio 7.2.2.12

Elimina il fattore comune di $2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.12.1

Scomponi $2$ da $2 \arctan (\frac{2 t}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) - 2 \arctan (0)}{12}$

Passaggio 7.2.2.12.2

Scomponi $2$ da $- 2 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))}{12}$

Passaggio 7.2.2.12.3

Scomponi $2$ da $2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{12}$

Passaggio 7.2.2.12.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.12.4.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 (6)}$

Passaggio 7.2.2.12.4.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 \cdot 6}$

Passaggio 7.2.2.12.4.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{t \to \infty} \frac{\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)}{6}$

Passaggio 8

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il termine $\frac{1}{6}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{1}{6} lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)$

Passaggio 8.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Passaggio 8.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{1}{6} (\infty - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Passaggio 8.4

Sostituisci $t$ a $\frac{2 t}{3}$ e lascia che $t$ tenda a $\infty$ , poiché $lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3} = \infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Passaggio 8.5

Il limite per $t$ tendente a $\infty$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Passaggio 8.6

Calcola il limite di $\arctan (0)$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - \arctan (0))$

Passaggio 8.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - 0)$

Passaggio 8.7.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} + 0)$

Passaggio 8.7.2

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 8.7.3

Moltiplica $\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.3.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 8.7.3.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{π}{12}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π}{12}$

Forma decimale:

$0.26179938 \dots$