Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Passaggio 1.2

Sposta $t^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Passaggio 1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Passaggio 1.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Passaggio 1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} 2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{x}$

Passaggio 3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ e $2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Calcola $2 t^{\frac{1}{2}}$ per $x$ e per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1}{\sqrt{x}}$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 2}{\sqrt{x}}$