Calcolo Esempi

$5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

Passaggio 1

Scrivi $5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ come funzione.

$f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 5 x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Passaggio 4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Passaggio 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2}) d x$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x (- x^{2}) d x$

Passaggio 6.2

Riordina $x$ e $- 1$ .

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x \cdot x^{2} d x$

Passaggio 6.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 \int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Passaggio 6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Passaggio 6.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$5 \int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Passaggio 6.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Passaggio 6.7

Somma $2$ e $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Passaggio 6.8

Metti in evidenza il valore negativo.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x \cdot x^{2}) d x$

Passaggio 6.9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x^{1} x^{2}) d x$

Passaggio 6.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{1 + 2} d x$

Passaggio 6.11

Somma $1$ e $2$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{3} d x$

Passaggio 6.12

Riordina $x^{\frac{3}{2}}$ e $- x^{3}$ .

$5 \int - x^{3} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$5 (\int - x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$5 (- \int x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

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Passaggio 11.1.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Passaggio 11.1.2

$\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Passaggio 11.2

Semplifica.

$5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ .

$F (x) =$ $5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$