Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x e^{2 x}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 4 x e^{2 x} d x$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int x e^{2 x} d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 5.2

$x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 5.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Passaggio 7

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 8

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 11

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Passaggio 12

Riscrivi $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ come $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Passaggio 14.1.2

$\frac{x}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Passaggio 14.1.3

$e^{2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 14.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 14.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 14.3.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 14.3.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 14.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 14.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{2 x}}{4}$ nel numeratore.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Passaggio 14.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Passaggio 14.4.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

Passaggio 15

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 4 x e^{2 x}$ .

$F (x) =$ $2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$