Calcolo Esempi

$5 y^{3} + x y + x^{3} + 3 = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (5 y^{3} + x y + x^{3} + 3) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 y^{3} + x y + x^{3} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 y^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$15 y^{2} y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$15 y^{2} y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 y^{2} y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$15 y^{2} y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.4

Differenzia.

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Passaggio 2.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$15 y^{2} y' + x y' + y + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.4.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$15 y^{2} y' + x y' + y + 3 x^{2} + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Somma $15 y^{2} y' + x y' + y + 3 x^{2}$ e $0$ .

$15 y^{2} y' + x y' + y + 3 x^{2}$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$3 x^{2} + 15 y^{2} y' + x y' + y$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 15 y^{2} y' + x y' + y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$15 y^{2} y' + x y' + y = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$15 y^{2} y' + x y' = - 3 x^{2} - y$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $15 y^{2} y' + x y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $15 y^{2} y'$ .

$y' (15 y^{2}) + x (y') = - 3 x^{2} - y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $x y'$ .

$y' (15 y^{2}) + y' (x) = - 3 x^{2} - y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (15 y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (15 y^{2} + x) = - 3 x^{2} - y$

Passaggio 5.3

Dividi per $15 y^{2} + x$ ciascun termine in $y' (15 y^{2} + x) = - 3 x^{2} - y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $15 y^{2} + x$ ciascun termine in $y' (15 y^{2} + x) = - 3 x^{2} - y$ .

$\frac{y' (15 y^{2} + x)}{15 y^{2} + x} = \frac{- 3 x^{2}}{15 y^{2} + x} + \frac{- y}{15 y^{2} + x}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $15 y^{2} + x$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (15 y^{2} + x)}{15 y^{2} + x} = \frac{- 3 x^{2}}{15 y^{2} + x} + \frac{- y}{15 y^{2} + x}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{15 y^{2} + x} + \frac{- y}{15 y^{2} + x}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - y}{15 y^{2} + x}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - y}{15 y^{2} + x}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (y)}{15 y^{2} + x}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} + y)}{15 y^{2} + x}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.5.1

Riscrivi $- (3 x^{2} + y)$ come $- 1 (3 x^{2} + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + y)}{15 y^{2} + x}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2} + y}{15 y^{2} + x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} + y}{15 y^{2} + x}$