Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \ln (1 - x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (1 - x)$ e $d v = 1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

Passaggio 2

$x$ e $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{x}{1 - x} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $\int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$ per $1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Passaggio 4.2

Riordina $1$ e $- x$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{- x + 1} d x$

Passaggio 5

Dividi $x$ per $- x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 1$

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Passaggio 5.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

Passaggio 8

Sia $u = - x + 1$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = - x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 8.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 8.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - x + 1$ .

$u_{lower} = - 0 + 1$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 8.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 8.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - x + 1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1 + 1$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = - 1 + 1$

Passaggio 8.5.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 8.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 8.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Passaggio 12

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1}$ e $- x]_{0}^{1}$ .

$\ln (1 - x) x - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Passaggio 13

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 13.1

Calcola $\ln (1 - x) x - x$ per $1$ e per $0$ .

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Passaggio 13.2

Calcola $\ln (| u |)$ per $0$ e per $1$ .

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 13.3

Semplifica.

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Passaggio 13.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (1 - 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 13.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 13.3.3

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 13.4

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 14

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito