Calcolo Esempi

$f (x) = \arctan (x^{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

Passaggio 1.1.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

$2$ e $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

Passaggio 1.1.2.3.2

$\frac{2}{1 + x^{4}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica $x^{4} + 1$ per $1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.6.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.3

Somma $3$ e $1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Sottrai $4 x^{4}$ da $x^{4}$ .

$2 \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

$2$ e $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7.3

Scomponi $2$ da $- 6 x^{4} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.3.1

Scomponi $2$ da $- 6 x^{4}$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7.3.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7.4

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{4}$ .

$\frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7.5

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 (- 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7.7

Riscrivi $- (3 x^{4} - 1)$ come $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ .

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Dividi $3 x^{4} - 1$ per $1$ .

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$3 x^{4} - 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{4} = 1$

Passaggio 2.3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{4} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{4} = 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.1.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Passaggio 2.3.5.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Passaggio 2.3.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Passaggio 2.3.5.4.2

Eleva $\sqrt[4]{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Passaggio 2.3.5.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Passaggio 2.3.5.4.4

Somma $1$ e $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Passaggio 2.3.5.4.5

Riscrivi ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{3}$ come $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Passaggio 2.3.5.4.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Passaggio 2.3.5.4.5.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Passaggio 2.3.5.4.5.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Passaggio 2.3.5.4.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.3.5.4.5.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Passaggio 2.3.5.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.5.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ come $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Passaggio 2.3.5.5.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Passaggio 2.3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Passaggio 2.3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Passaggio 2.3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ in $f (x) = \arctan (x^{2})$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}})$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{27}}^{2}$ come $\sqrt{27}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{27}$ come $27^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{2}}{3^{2}})$

Passaggio 3.1.2.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{3^{2}})$

Passaggio 3.1.2.2.1.3

$\frac{1}{4}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2}{4}}}{3^{2}})$

Passaggio 3.1.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 (1)}{4}}}{3^{2}})$

Passaggio 3.1.2.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Passaggio 3.1.2.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Passaggio 3.1.2.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{2}})$

Passaggio 3.1.2.2.1.5

Riscrivi $27^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{27}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{27}}{3^{2}})$

Passaggio 3.1.2.2.2

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{2}})$

Passaggio 3.1.2.2.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{2}})$

Passaggio 3.1.2.2.3

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3^{2}})$

Passaggio 3.1.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

Passaggio 3.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 (\sqrt{3})}{9})$

Passaggio 3.1.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Passaggio 3.1.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Passaggio 3.1.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 3.1.2.4

Il valore esatto di $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ è $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{π}{6}$

Passaggio 3.1.2.5

La risposta finale è $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ in $f (x) = \arctan (x^{2})$ è $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ in $f (x) = \arctan (x^{2})$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}))$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (1 (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}))$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}})$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{27}}^{2}$ come $\sqrt{27}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{27}$ come $27^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{2}}{3^{2}})$

Passaggio 3.3.2.3.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{3^{2}})$

Passaggio 3.3.2.3.1.3

$\frac{1}{4}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2}{4}}}{3^{2}})$

Passaggio 3.3.2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 (1)}{4}}}{3^{2}})$

Passaggio 3.3.2.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Passaggio 3.3.2.3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Passaggio 3.3.2.3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{2}})$

Passaggio 3.3.2.3.1.5

Riscrivi $27^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{27}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{27}}{3^{2}})$

Passaggio 3.3.2.3.2

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{2}})$

Passaggio 3.3.2.3.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{2}})$

Passaggio 3.3.2.3.3

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3^{2}})$

Passaggio 3.3.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

Passaggio 3.3.2.4.2

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.2.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 (\sqrt{3})}{9})$

Passaggio 3.3.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.2.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Passaggio 3.3.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Passaggio 3.3.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 3.3.2.5

Il valore esatto di $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ è $\frac{π}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{π}{6}$

Passaggio 3.3.2.6

La risposta finale è $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ in $f (x) = \arctan (x^{2})$ è $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.85983568$ nell'espressione.

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (3 {(- 0.85983568)}^{4} - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.85983568$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (3 \cdot 0.54659022 - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0.54659022$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (1.63977068 - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3

Sottrai $1$ da $1.63977068$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 0.85983568$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{(0.54659022 + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $0.54659022$ e $1$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{1.54659022}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $1.54659022$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{2.39194133}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $2$ per $0.63977068$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{1.27954136}{2.39194133}$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi $1.27954136$ per $2.39194133$ .

$f'' (- 0.85983568) = - 1 \cdot 0.53493843$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $0.53493843$ .

$f'' (- 0.85983568) = - 0.53493843$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- 0.53493843$ .

$- 0.53493843$

Passaggio 5.3

Per $- 0.85983568$ , la derivata seconda è $- 0.53493843$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

Passaggio 6.2.3.2

Dividi $- 2$ per $1$ .

$f'' (0) = 2$

Passaggio 6.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (0) = 2$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $0$ , la derivata seconda è $2$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ .

Crescente su $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.85983568$ nell'espressione.

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (3 {(0.85983568)}^{4} - 1)}{{({(0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.85983568$ alla potenza di $4$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (3 \cdot 0.54659022 - 1)}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0.54659022$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (1.63977068 - 1)}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Sottrai $1$ da $1.63977068$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $0.85983568$ alla potenza di $4$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{(0.54659022 + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $0.54659022$ e $1$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{1.54659022}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $1.54659022$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{2.39194133}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $2$ per $0.63977068$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{1.27954136}{2.39194133}$

Passaggio 7.2.3.2

Dividi $1.27954136$ per $2.39194133$ .

$f'' (0.85983568) = - 1 \cdot 0.53493843$

Passaggio 7.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $0.53493843$ .

$f'' (0.85983568) = - 0.53493843$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- 0.53493843$ .

$- 0.53493843$

Passaggio 7.3

Per $0.85983568$ , la derivata seconda è $- 0.53493843$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ .

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Passaggio 9