Calcolo Esempi

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Scomponi $x$ da $6 x - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $x$ da $6 x$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 - x^{2}}} d x$

Passaggio 1.2

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 + x (- x)}} d x$

Passaggio 1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 6 + x (- x)$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x (6 - x)}} d x$

Passaggio 2

Completa il quadrato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot 6 + x (- x)$

Passaggio 2.1.2

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$6 \cdot x + x (- x)$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 \cdot x - x \cdot x$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Sposta $x$ .

$6 x - (x \cdot x)$

Passaggio 2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$6 x - x^{2}$

Passaggio 2.1.5

Riordina $6 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 x$

Passaggio 2.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

Passaggio 2.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$d = - 3$

Passaggio 2.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Passaggio 2.5.2.1.3

Dividi $36$ per $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Passaggio 2.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $0$ e $9$ .

$e = 9$

Passaggio 2.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- {(x - 3)}^{2} + 9$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{- {(x - 3)}^{2} + 9}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x - 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = x - 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 3 - 3$

Passaggio 3.3

Sottrai $3$ da $3$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 6 - 3$

Passaggio 3.5

Sottrai $3$ da $6$ .

$u_{upper} = 3$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 9}} d u$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 3^{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Riordina $- u^{2}$ e $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$\arcsin (\frac{u}{3})]_{0}^{3}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola $\arcsin (\frac{u}{3})$ per $3$ e per $0$ .

$(\arcsin (\frac{3}{3})) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\arcsin (\frac{3}{3}) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Passaggio 6.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 (0)}{3})$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 6.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{1})$

Passaggio 6.2.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - \arcsin (0)$

Passaggio 7.1.2

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Passaggio 7.2

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π}{2}$

Forma decimale:

$1.57079632 \dots$

Passaggio 9