Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Passaggio 1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Passaggio 1.2.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Passaggio 1.2.5

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Passaggio 1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Passaggio 1.2.6.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Passaggio 1.2.6.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Passaggio 1.3.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} \cos (- 1 - x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Passaggio 1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{3 \cos (lim_{x \to - 1} - 1 - x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Passaggio 1.3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- lim_{x \to - 1} 1 - lim_{x \to - 1} x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Passaggio 1.3.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 1} x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Passaggio 1.3.6

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 1} x) - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 \cdot 1 + 1) - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.7.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 + 1) - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.7.2.1.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{3 \cos (0) - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.7.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.7.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.7.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Passaggio 1.3.7.2.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.7.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.7.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.8

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 \cos (- 1 - x) - 3} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \cos (- 1 - x) - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x)] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.6

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x)]$ .

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Passaggio 3.6.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (- 1 - x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (- 1 - x)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \frac{d}{d x} [\cos (- 1 - x)] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = - 1 - x$ .

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Passaggio 3.6.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- 1 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.6.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [- 1 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.6.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) \frac{d}{d x} [- 1 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.6.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.6.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.6.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 - \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.6.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.6.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 - 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.6.8

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.6.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (1 \sin (- 1 - x)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.6.10

Moltiplica $\sin (- 1 - x)$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \sin (- 1 - x) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \sin (- 1 - x) + 0}$

Passaggio 3.8

Somma $3 \sin (- 1 - x)$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \sin (- 1 - x)}$

Passaggio 4

Poiché la funzione tende a $- \infty$ da sinistra e a $\infty$ da destra, il limite non esiste.

$Non esiste$