Calcolo Esempi

$e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$

Passaggio 1

Scrivi $e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$ come funzione.

$f (x) = e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x}) d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- 3 e^{- 2 x}) d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\int e^{x} + e^{x} (- 3 e^{- 2 x}) d x$

Passaggio 4.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\int e^{x} - 3 e^{x} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 4.4

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{- 2 x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.4.1

Sposta $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{x} - 3 (e^{- 2 x} e^{x}) d x$

Passaggio 4.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int e^{x} - 3 e^{- 2 x + x} d x$

Passaggio 4.4.3

Somma $- 2 x$ e $x$ .

$\int e^{x} - 3 e^{- x} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int e^{x} d x + \int - 3 e^{- x} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$e^{x} + C + \int - 3 e^{- x} d x$

Passaggio 7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$e^{x} + C - 3 \int e^{- x} d x$

Passaggio 8

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$e^{x} + C - 3 \int - e^{u} d u$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{x} + C - 3 (- \int e^{u} d u)$

Passaggio 10

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$e^{x} + C + 3 \int e^{u} d u$

Passaggio 11

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{x} + C + 3 (e^{u} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$e^{x} + 3 e^{u} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$ .

$F (x) =$ $e^{x} + 3 e^{- x} + C$