Calcolo Esempi

Let $h (x) = \frac{e^{x}}{x - 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x e^{x} - 1 e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Riscrivi $- 1 e^{x}$ come $- e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sottrai $e^{x}$ da $- e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.3

Riordina i termini.

$\frac{e^{x} x - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.4

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x - 2 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.4.1

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.4.2

Scomponi $e^{x}$ da $- 2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.4.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $h (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$e^{x} (x - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.3.2.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.3.2.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.3.3

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{x} (x - 2) = 0$ vera.

$x = 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{e^{x}}{x - 1}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 2$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$\frac{e^{2}}{(2) - 1}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{e^{2}}{1}$

Passaggio 4.1.2.2

Dividi $e^{2}$ per $1$ .

$e^{2}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\frac{e^{1}}{(1) - 1}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{e^{1}}{0}$

Passaggio 4.2.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(2, e^{2})$

Passaggio 5