Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$ come $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Passaggio 2

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Passaggio 3

Riscrivi $x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$ come $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.3.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.3.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 - 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Somma $1$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.7.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.7.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.7.3

Dividi $1$ per $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.7.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x - 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x - 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $\frac{x - 1}{x + 1}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.5

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.10

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.14

Somma $1$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.15

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.16

Moltiplica $\frac{x - 1}{x + 1}$ per $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.17

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.17.1

Scomponi $x - 1$ da $(x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.17.2

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.17.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.18.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.18.2.1

Combina i termini opposti in $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.18.2.1.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.18.2.1.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.18.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.18.2.3

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.18.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.19

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Passaggio 4.3.20

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{- x^{- 2}}}$

Passaggio 4.3.21

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Passaggio 4.5

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} x^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} x^{2}}$

Passaggio 4.5.3

$\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ e $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 6

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 6.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 6.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}}$

Passaggio 6.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}}$

Passaggio 6.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Passaggio 6.1.3.4

Riordina $x$ e $- 1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Passaggio 6.1.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Passaggio 6.1.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Passaggio 6.1.3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Passaggio 6.1.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Passaggio 6.1.3.8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.8.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}}$

Passaggio 6.1.3.8.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}}$

Passaggio 6.1.3.8.3

Somma $- 1 x$ e $x$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 1}}$

Passaggio 6.1.3.8.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1}}$

Passaggio 6.1.3.9

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 6.1.3.10

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 6.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 6.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}$

Passaggio 6.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}}$

Passaggio 6.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}}$

Passaggio 6.3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Passaggio 6.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Passaggio 6.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Passaggio 6.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Passaggio 6.3.7

Somma $1$ e $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Passaggio 6.3.8

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Passaggio 6.3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

Passaggio 6.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}}$

Passaggio 6.3.11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}}$

Passaggio 6.3.12

Somma $1$ e $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}}$

Passaggio 6.3.13

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + x - 1}}$

Passaggio 6.3.14

Somma $x$ e $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 1 - 1}}$

Passaggio 6.3.15

Sottrai $1$ da $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 0}}$

Passaggio 6.3.16

Somma $2 x$ e $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}$

Passaggio 6.4

Riduci.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}$

Passaggio 6.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Passaggio 6.4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Passaggio 6.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e^{2}$

Forma decimale:

$7.38905609 \dots$