Calcolo Esempi

$h (t) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $60 - 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [60] + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$ .

$\frac{d}{d t} [60] + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $60$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $60$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

$\frac{π}{10}$ e $t$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $- 55$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 55 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ rispetto a $t$ è $- 55 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$ .

$0 - 55 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = \frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$0 - 55 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}])$

Passaggio 1.2.3.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$0 - 55 (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}])$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}])$

Passaggio 1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\frac{π t}{10}] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d t} [\frac{π t}{10}] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]))$

Passaggio 1.2.5

Poiché $\frac{π}{10}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{π t}{10}$ rispetto a $t$ è $\frac{π}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]))$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]))$

Passaggio 1.2.7

Poiché $\frac{π}{2}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{π}{2}$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} \cdot 1 + 0))$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $\frac{π}{10}$ per $1$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} + 0))$

Passaggio 1.2.9

Somma $\frac{π}{10}$ e $0$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{π}{10})$

Passaggio 1.2.10

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ e $\frac{π}{10}$ .

$0 - 55 \frac{\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{10}$

Passaggio 1.2.11

$- 55$ e $\frac{\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{10}$ .

$0 + \frac{- 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{10}$

Passaggio 1.2.12

Elimina il fattore comune di $- 55$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.1

Scomponi $5$ da $- 55 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π$ .

$0 + \frac{5 (- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{10}$

Passaggio 1.2.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$0 + \frac{5 (- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{5 (2)}$

Passaggio 1.2.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{5 (- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{5 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$

Passaggio 1.2.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sottrai $\frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$ da $0$ .

$- \frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$

Passaggio 1.3.2

Riordina i fattori in $- \frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$ .

$- \frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- \frac{11 π}{2}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{11 π}{2} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot \frac{d}{d t} \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = \frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot (- \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$h'' (t) = 1 (\frac{11 π}{2}) \cdot (\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Passaggio 2.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $\frac{11 π}{2}$ per $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 π}{2} \cdot (\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Passaggio 2.3.2.2

$\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ e $\frac{11 π}{2}$ .

$h'' (t) = \frac{\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (11 π)}{2} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.2.3

Sposta $11$ alla sinistra di $\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ .

$h'' (t) = \frac{11 \cdot (\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{2} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\frac{π t}{10}] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{d}{d t} (\frac{π t}{10}) + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{π}{10}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{π t}{10}$ rispetto a $t$ è $\frac{π}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} \cdot \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} \cdot 1 + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $\frac{π}{10}$ per $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{π}{2}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{π}{2}$ rispetto a $t$ è $0$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} + 0)$

Passaggio 2.3.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Somma $\frac{π}{10}$ e $0$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot \frac{π}{10}$

Passaggio 2.3.8.2

Moltiplica $\frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$ per $\frac{π}{10}$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π π}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.4

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (π π)}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (π π)}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{1 + 1}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{2}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.8

Moltiplica $2$ per $10$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{2}}{20}$

Passaggio 2.9

Riordina i fattori in $11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{2}$ .

$h'' (t) = \frac{11 π^{2} \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{2} = 0$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $11 π$ ciascun termine in $11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $11 π$ ciascun termine in $11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$ .

$\frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{11 π} = \frac{0}{11 π}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{11 π} = \frac{0}{11 π}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{11 π}$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{11 π}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Dividi $\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ per $1$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{0}{11 π}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Scomponi $11$ da $0$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{11 (0)}{11 π}$

Passaggio 5.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.2.1

Scomponi $11$ da $11 π$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{11 (0)}{11 (π)}$

Passaggio 5.1.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{11 \cdot 0}{11 π}$

Passaggio 5.1.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{0}{π}$

Passaggio 5.1.3.2

Dividi $0$ per $π$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$

Passaggio 5.2

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.4

Sposta tutti i termini non contenenti $t$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sottrai $\frac{π}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{π t}{10} = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π t}{10} = \frac{π - π}{2}$

Passaggio 5.4.3

Sottrai $π$ da $π$ .

$\frac{π t}{10} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.4.4

Dividi $0$ per $2$ .

$\frac{π t}{10} = 0$

Passaggio 5.5

Poni il numeratore uguale a zero.

$π t = 0$

Passaggio 5.6

Dividi per $π$ ciascun termine in $π t = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Dividi per $π$ ciascun termine in $π t = 0$ .

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{π}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{π}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{0}{π}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1

Dividi $0$ per $π$ .

$t = 0$

Passaggio 5.7

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.8

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.8.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.8.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.8.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 5.8.1.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $t$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Sottrai $\frac{π}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{π t}{10} = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.8.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π t}{10} = \frac{3 π - π}{2}$

Passaggio 5.8.2.3

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$\frac{π t}{10} = \frac{2 π}{2}$

Passaggio 5.8.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π t}{10} = \frac{2 π}{2}$

Passaggio 5.8.2.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$\frac{π t}{10} = π$

Passaggio 5.8.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{10}{π}$ .

$\frac{10}{π} \cdot \frac{π t}{10} = \frac{10}{π} π$

Passaggio 5.8.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1.1

Semplifica $\frac{10}{π} \cdot \frac{π t}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10}{π} \cdot \frac{π t}{10} = \frac{10}{π} π$

Passaggio 5.8.4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{10}{π} π$

Passaggio 5.8.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{10}{π} π$

Passaggio 5.8.4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{10}{π} π$

Passaggio 5.8.4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t = \frac{10}{π} π$

Passaggio 5.8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.2.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$t = \frac{10}{π} π$

Passaggio 5.8.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$t = 10$

Passaggio 5.9

La soluzione dell'equazione $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

$t = 0, 10$

Passaggio 6

Calcola la derivata seconda per $t = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π (0)}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $10$ da $π (0)$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{10 (π \cdot (0))}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Passaggio 7.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $10$ da $10$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{10 (π \cdot (0))}{10 (1)} + \frac{π}{2})}{20}$

Passaggio 7.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{10 (π \cdot (0))}{10 \cdot 1} + \frac{π}{2})}{20}$

Passaggio 7.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (0)}{1} + \frac{π}{2})}{20}$

Passaggio 7.1.2.4

Dividi $π \cdot (0)$ per $1$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (π \cdot (0) + \frac{π}{2})}{20}$

Passaggio 7.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (0 + \frac{π}{2})}{20}$

Passaggio 7.2.2

Somma $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{20}$

Passaggio 7.2.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{11 π^{2} \cdot 1}{20}$

Passaggio 7.2.4

Moltiplica $11$ per $1$ .

$\frac{11 π^{2}}{20}$

Passaggio 8

$t = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = 0$ è un minimo locale

Passaggio 9

Trova il valore di y quando $t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $t$ con $0$ nell'espressione.

$h (0) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} \cdot (0) + \frac{π}{2})$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $\frac{π}{10}$ per $0$ .

$h (0) = 60 - 55 \sin (0 + \frac{π}{2})$

Passaggio 9.2.1.2

Somma $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$h (0) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$h (0) = 60 - 55 \cdot 1$

Passaggio 9.2.1.4

Moltiplica $- 55$ per $1$ .

$h (0) = 60 - 55$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $55$ da $60$ .

$h (0) = 5$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $5$ .

$y = 5$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $t = 10$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π (10)}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot 10}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Passaggio 11.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (π + \frac{π}{2})}{20}$

Passaggio 11.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})}{20}$

Passaggio 11.2.2

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})}{20}$

Passaggio 11.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})}{20}$

Passaggio 11.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})}{20}$

Passaggio 11.2.4.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{20}$

Passaggio 11.2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$\frac{11 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{20}$

Passaggio 11.2.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{11 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{20}$

Passaggio 11.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{11 π^{2} \cdot - 1}{20}$

Passaggio 11.2.8

Moltiplica $- 1$ per $11$ .

$\frac{- 11 π^{2}}{20}$

Passaggio 11.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{11 π^{2}}{20}$

Passaggio 12

$t = 10$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = 10$ è un massimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $t = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $t$ con $10$ nell'espressione.

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} \cdot (10) + \frac{π}{2})$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} \cdot 10 + \frac{π}{2})$

Passaggio 13.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$h (10) = 60 - 55 \sin (π + \frac{π}{2})$

Passaggio 13.2.1.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 13.2.1.3

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 13.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Passaggio 13.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Passaggio 13.2.1.5.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$h (10) = 60 - 55 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$h (10) = 60 - 55 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 13.2.1.8

Moltiplica $- 55 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$h (10) = 60 - 55 \cdot - 1$

Passaggio 13.2.1.8.2

Moltiplica $- 55$ per $- 1$ .

$h (10) = 60 + 55$

Passaggio 13.2.2

Somma $60$ e $55$ .

$h (10) = 115$

Passaggio 13.2.3

La risposta finale è $115$ .

$y = 115$

Passaggio 14

Questi sono gli estremi locali per $h (t) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})$ .

$(0, 5)$ è un minimo locale

$(10, 115)$ è un massimo locale

Passaggio 15