Calcolo Esempi

$x^{5} (x + 1) (x - 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5} (x + 1)$ e $g (x) = x - 1$ .

$x^{5} (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{5} (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{5} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{5} (x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{5} (x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x + 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 1.4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 1.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 1.4.4.2

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) (5 x^{4}))$

Passaggio 1.4.6

Sposta $5$ alla sinistra di $x + 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + 5 \cdot (x + 1) x^{4})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 (x + 1) x^{4})$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + (5 x + 5 \cdot 1) x^{4})$

Passaggio 1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 x \cdot x^{4} + 5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.6

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.7

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.1

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.1.1

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{5} x^{1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{5 + 1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.1.2

Somma $5$ e $1$ .

$x^{6} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.2

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.3

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{1} x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{6} + x^{5} + x^{1 + 5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.3.2

Somma $1$ e $5$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.4

Riscrivi $- 1 x^{5}$ come $- x^{5}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.5

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.5.1

Sposta $x^{4}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x)) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.5.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x^{1})) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{4 + 1}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.5.3

Somma $4$ e $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 (x^{1} x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{1 + 5} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.8

Somma $1$ e $5$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.9

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.9.1

Sposta $x^{4}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x)) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.9.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.9.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x^{1})) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.9.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{4 + 1}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.9.3

Somma $4$ e $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{5}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.10

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.11

Moltiplica $5$ per $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 (x^{1} x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{1 + 4} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.14

Somma $1$ e $4$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.15

Moltiplica $5$ per $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 x^{4})$

Passaggio 1.5.8.16

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 5 x^{4}$

Passaggio 1.5.8.17

Somma $- 5 x^{5}$ e $5 x^{5}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

Passaggio 1.5.8.18

Somma $5 x^{6}$ e $0$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{4}$

Passaggio 1.5.8.19

Somma $x^{6}$ e $5 x^{6}$ .

$x^{6} + x^{5} + 6 x^{6} - x^{5} - 5 x^{4}$

Passaggio 1.5.8.20

Somma $x^{6}$ e $6 x^{6}$ .

$7 x^{6} + x^{5} - x^{5} - 5 x^{4}$

Passaggio 1.5.8.21

Sottrai $x^{5}$ da $x^{5}$ .

$7 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

Passaggio 1.5.8.22

Somma $7 x^{6}$ e $0$ .

$7 x^{6} - 5 x^{4}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{6} - 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{6}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$f'' (x) = 7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $6$ per $7$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} - 5 \frac{d}{d x} x^{4}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} - 5 (4 x^{3})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} - 20 x^{3}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$7 x^{6} - 5 x^{4} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5} (x + 1)$ e $g (x) = x - 1$ .

$x^{5} (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{5} (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{5} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{5} (x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{5} (x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x + 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.1.4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.1.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.1.4.4.2

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) (5 x^{4}))$

Passaggio 4.1.4.6

Sposta $5$ alla sinistra di $x + 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + 5 \cdot (x + 1) x^{4})$

Passaggio 4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 (x + 1) x^{4})$

Passaggio 4.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + (5 x + 5 \cdot 1) x^{4})$

Passaggio 4.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 x \cdot x^{4} + 5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.6

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.7

Applica la proprietà distributiva.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.1

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.1.1

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{5} x^{1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{5 + 1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.1.2

Somma $5$ e $1$ .

$x^{6} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.2

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.3

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{1} x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{6} + x^{5} + x^{1 + 5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.3.2

Somma $1$ e $5$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.4

Riscrivi $- 1 x^{5}$ come $- x^{5}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.5

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.5.1

Sposta $x^{4}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x)) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.5.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x^{1})) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{4 + 1}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.5.3

Somma $4$ e $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 (x^{1} x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{1 + 5} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.8

Somma $1$ e $5$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.9

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.9.1

Sposta $x^{4}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x)) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.9.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.9.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x^{1})) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.9.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{4 + 1}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.9.3

Somma $4$ e $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{5}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.10

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.11

Moltiplica $5$ per $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 (x^{1} x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{1 + 4} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.14

Somma $1$ e $4$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.15

Moltiplica $5$ per $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 x^{4})$

Passaggio 4.1.5.8.16

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 5 x^{4}$

Passaggio 4.1.5.8.17

Somma $- 5 x^{5}$ e $5 x^{5}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

Passaggio 4.1.5.8.18

Somma $5 x^{6}$ e $0$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{4}$

Passaggio 4.1.5.8.19

Somma $x^{6}$ e $5 x^{6}$ .

$x^{6} + x^{5} + 6 x^{6} - x^{5} - 5 x^{4}$

Passaggio 4.1.5.8.20

Somma $x^{6}$ e $6 x^{6}$ .

$7 x^{6} + x^{5} - x^{5} - 5 x^{4}$

Passaggio 4.1.5.8.21

Sottrai $x^{5}$ da $x^{5}$ .

$7 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

Passaggio 4.1.5.8.22

Somma $7 x^{6}$ e $0$ .

$f' (x) = 7 x^{6} - 5 x^{4}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $7 x^{6} - 5 x^{4}$ .

$7 x^{6} - 5 x^{4}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $7 x^{6} - 5 x^{4} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$7 x^{6} - 5 x^{4} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $x^{4}$ da $7 x^{6} - 5 x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x^{4}$ da $7 x^{6}$ .

$x^{4} (7 x^{2}) - 5 x^{4} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x^{4}$ da $- 5 x^{4}$ .

$x^{4} (7 x^{2}) + x^{4} \cdot - 5 = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x^{4}$ da $x^{4} (7 x^{2}) + x^{4} \cdot - 5$ .

$x^{4} (7 x^{2} - 5) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{4} = 0$

$7 x^{2} - 5 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x^{4}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x^{4}$ uguale a $0$ .

$x^{4} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $x^{4} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $7 x^{2} - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $7 x^{2} - 5$ uguale a $0$ .

$7 x^{2} - 5 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $7 x^{2} - 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$7 x^{2} = 5$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x^{2} = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x^{2} = 5$ .

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{5}{7}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{5}{7}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{7}$

Passaggio 5.5.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{7}}$

Passaggio 5.5.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{5}{7}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{5}{7}}$ come $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

Passaggio 5.5.2.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Passaggio 5.5.2.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Passaggio 5.5.2.4.3.2

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Passaggio 5.5.2.4.3.3

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Passaggio 5.5.2.4.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.5.2.4.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Passaggio 5.5.2.4.3.6

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.5.2.4.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.5.2.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.2.4.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.2.4.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Passaggio 5.5.2.4.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7}$

Passaggio 5.5.2.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7}$

Passaggio 5.5.2.4.4.2

Moltiplica $5$ per $7$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{35}}{7}$

Passaggio 5.5.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$

Passaggio 5.5.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Passaggio 5.5.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{4} (7 x^{2} - 5) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$42 {(0)}^{5} - 20 {(0)}^{3}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$42 \cdot 0 - 20 {(0)}^{3}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $42$ per $0$ .

$0 - 20 {(0)}^{3}$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 20 \cdot 0$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $- 20$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{35}}{7}) \cup (- \frac{\sqrt{35}}{7}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{35}}{7}) \cup (\frac{\sqrt{35}}{7}, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 3$ , dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{35}}{7})$ nella derivata prima $7 x^{6} - 5 x^{4}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = 7 {(- 3)}^{6} - 5 {(- 3)}^{4}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $6$ .

$f' (- 3) = 7 \cdot 729 - 5 {(- 3)}^{4}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $7$ per $729$ .

$f' (- 3) = 5103 - 5 {(- 3)}^{4}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 3) = 5103 - 5 \cdot 81$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $81$ .

$f' (- 3) = 5103 - 405$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai $405$ da $5103$ .

$f' (- 3) = 4698$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $4698$ .

$4698$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 0.42$ , dell'intervallo $(- \frac{\sqrt{35}}{7}, 0)$ nella derivata prima $7 x^{6} - 5 x^{4}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.42$ nell'espressione.

$f' (- 0.42) = 7 {(- 0.42)}^{6} - 5 {(- 0.42)}^{4}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva $- 0.42$ alla potenza di $6$ .

$f' (- 0.42) = 7 \cdot 0.00548903 - 5 {(- 0.42)}^{4}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $7$ per $0.00548903$ .

$f' (- 0.42) = 0.03842322 - 5 {(- 0.42)}^{4}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Eleva $- 0.42$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 0.42) = 0.03842322 - 5 \cdot 0.03111696$

Passaggio 10.3.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $0.03111696$ .

$f' (- 0.42) = 0.03842322 - 0.1555848$

Passaggio 10.3.2.2

Sottrai $0.1555848$ da $0.03842322$ .

$f' (- 0.42) = - 0.11716157$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $- 0.11716157$ .

$- 0.11716157$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.42$ , dell'intervallo $(0, \frac{\sqrt{35}}{7})$ nella derivata prima $7 x^{6} - 5 x^{4}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.42$ nell'espressione.

$f' (0.42) = 7 {(0.42)}^{6} - 5 {(0.42)}^{4}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva $0.42$ alla potenza di $6$ .

$f' (0.42) = 7 \cdot 0.00548903 - 5 {(0.42)}^{4}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica $7$ per $0.00548903$ .

$f' (0.42) = 0.03842322 - 5 {(0.42)}^{4}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Eleva $0.42$ alla potenza di $4$ .

$f' (0.42) = 0.03842322 - 5 \cdot 0.03111696$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $0.03111696$ .

$f' (0.42) = 0.03842322 - 0.1555848$

Passaggio 10.4.2.2

Sottrai $0.1555848$ da $0.03842322$ .

$f' (0.42) = - 0.11716157$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $- 0.11716157$ .

$- 0.11716157$

Passaggio 10.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dell'intervallo $(\frac{\sqrt{35}}{7}, \infty)$ nella derivata prima $7 x^{6} - 5 x^{4}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 7 {(3)}^{6} - 5 {(3)}^{4}$

Passaggio 10.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $6$ .

$f' (3) = 7 \cdot 729 - 5 {(3)}^{4}$

Passaggio 10.5.2.1.2

Moltiplica $7$ per $729$ .

$f' (3) = 5103 - 5 {(3)}^{4}$

Passaggio 10.5.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f' (3) = 5103 - 5 \cdot 81$

Passaggio 10.5.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $81$ .

$f' (3) = 5103 - 405$

Passaggio 10.5.2.2

Sottrai $405$ da $5103$ .

$f' (3) = 4698$

Passaggio 10.5.2.3

La risposta finale è $4698$ .

$4698$

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ , allora $x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ è un massimo locale.

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ è un massimo locale

Passaggio 10.7

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ , allora $x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ è un minimo locale.

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ è un minimo locale

Passaggio 10.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{5} (x + 1) (x - 1)$ .

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ è un massimo locale

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ è un minimo locale

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ è un massimo locale

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ è un minimo locale

Passaggio 11