Calcolo Esempi

$\int x (x^{2} + 7) (\frac{1}{3}) d x$

Passaggio 1

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$\int \frac{x}{3} (x^{2} + 7) d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ , quindi $3 d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 u_{1})}^{2} + 7) d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $3$ da $3 u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 (u_{1}))}^{2} + 7) d u_{1}$

Passaggio 3.2

Applica la regola del prodotto a $3 (u_{1})$ .

$\int 3 u_{1} (3^{2} {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Passaggio 3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int 3 u_{1} (9 {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Allora $d u_{2} = 18 u_{1} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{18} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2} + 7]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 {u_{1}}^{2} + 7$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $9 {u_{1}}^{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 (2 u_{1}) + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$18 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $7$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$18 u_{1} + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $18 u_{1}$ e $0$ .

$18 u_{1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int 3 u_{2} \frac{1}{18} d u_{2}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{18}$ e $3$ .

$\int \frac{3}{18} u_{2} d u_{2}$

Passaggio 5.2

$\frac{3}{18}$ e $u_{2}$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{18} d u_{2}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $3$ da $3 u_{2}$ .

$\int \frac{3 (u_{2})}{18} d u_{2}$

Passaggio 5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Passaggio 5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{u_{2}}{6} d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi $\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ come $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{1}{12} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 9

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{1}{12} {(9 {u_{1}}^{2} + 7)}^{2} + C$

Passaggio 9.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{x}{3})}^{2} + 7)}^{2} + C$

Passaggio 10

Riordina i termini.

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{1}{3} x)}^{2} + 7)}^{2} + C$