Calcolo Esempi

$- x y + 4 y^{2} - 3 = 5 x^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (- x y + 4 y^{2} - 3) = \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x y + 4 y^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- (x y' + y) + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$- (x y' + y) + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (x y' + y) + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$- (x y' + y) + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- (x y' + y) + 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- (x y' + y) + 8 y y' + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- (x y' + y) + 8 y y' + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (x y') - y + 8 y y' + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $- x y' - y + 8 y y'$ e $0$ .

$- x y' - y + 8 y y'$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$- x y' + 8 y y' - y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 x)$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- x y' + 8 y y' - y = 10 x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' + 8 y y' = 10 x + y$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $- x y' + 8 y y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $- x y'$ .

$y' (- x) + 8 y y' = 10 x + y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $8 y y'$ .

$y' (- x) + y' (8 y) = 10 x + y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (- x) + y' (8 y)$ .

$y' (- x + 8 y) = 10 x + y$

Passaggio 5.3

Dividi per $- x + 8 y$ ciascun termine in $y' (- x + 8 y) = 10 x + y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $- x + 8 y$ ciascun termine in $y' (- x + 8 y) = 10 x + y$ .

$\frac{y' (- x + 8 y)}{- x + 8 y} = \frac{10 x}{- x + 8 y} + \frac{y}{- x + 8 y}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- x + 8 y$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- x + 8 y)}{- x + 8 y} = \frac{10 x}{- x + 8 y} + \frac{y}{- x + 8 y}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{10 x}{- x + 8 y} + \frac{y}{- x + 8 y}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{10 x + y}{- x + 8 y}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{10 x + y}{- (x) + 8 y}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $8 y$ .

$y' = \frac{10 x + y}{- (x) - (- 8 y)}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (- 8 y)$ .

$y' = \frac{10 x + y}{- (x - 8 y)}$

Passaggio 5.3.3.5

Riscrivi i negativi.

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Passaggio 5.3.3.5.1

Riscrivi $- (x - 8 y)$ come $- 1 (x - 8 y)$ .

$y' = \frac{10 x + y}{- 1 (x - 8 y)}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{10 x + y}{x - 8 y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x + y}{x - 8 y}$