Calcolo Esempi

$\frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$ rispetto a $y$ è $4 \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(2 y + 1)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(2 y + 1)}^{2}}]$

Passaggio 1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(2 y + 1)}^{2}}$ come ${({(2 y + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d y} [{({(2 y + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 y + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{- 2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 2}$ e $g (y) = 2 y + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 y + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y + 1$ .

$4 (- 2 {(2 y + 1)}^{- 3} \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$- 8 ({(2 y + 1)}^{- 3} \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 + 0)$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} \cdot 2$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$- 16 {(2 y + 1)}^{- 3}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{{(2 y + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$- 16$ e $\frac{1}{{(2 y + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 16}{{(2 y + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{16}{{(2 y + 1)}^{3}}$