Calcolo Esempi

$lim_{x \to 81} \frac{x (\sqrt{x} - 9)}{x - 81}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 81} x (\sqrt{x} - 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $81$ .

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot lim_{x \to 81} \sqrt{x} - 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $81$ .

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot (lim_{x \to 81} \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 81} x} - lim_{x \to 81} 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $81$ .

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 81} x} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $81$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $81$ per $x$ .

$\frac{81 \cdot (\sqrt{lim_{x \to 81} x} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $81$ per $x$ .

$\frac{81 \cdot (\sqrt{81} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$\frac{81 \cdot (\sqrt{9^{2}} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{81 \cdot (9 - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{81 \cdot (9 - 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{81 \cdot 0}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Moltiplica $81$ per $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $81$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - lim_{x \to 81} 81}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $81$ che è costante, mentre $x$ tende a $81$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - 1 \cdot 81}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $81$ per $x$ .

$\frac{0}{81 - 1 \cdot 81}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$\frac{0}{81 - 81}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $81$ da $81$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 81} \frac{x (\sqrt{x} - 9)}{x - 81} = lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 9)]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 9)]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - 9)]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 9$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 9] + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{1}{2}} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.11

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.12

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.13

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.14

Somma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.15

$x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.16

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.17

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.17.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.3.17.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.17.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.17.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.17.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.17.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.18

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.19

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}} - 9$ per $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.20

Per scrivere $x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.21

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.23

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.24

Somma $x^{\frac{1}{2}}$ e $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.25

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 81$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 81]}$

Passaggio 1.3.26

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{1 + \frac{d}{d x} [- 81]}$

Passaggio 1.3.27

Poiché $- 81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 81$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.28

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{1}$

Passaggio 1.4

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 9}{1}$

Passaggio 1.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.5.1

Per scrivere $- 9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}}{1}$

Passaggio 1.5.2

$- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}}{1}$

Passaggio 1.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2}{2}}{1}$

Passaggio 1.6

Dividi $\frac{3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2}{2}$ per $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 81} 3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $81$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 81} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9 \cdot 2)$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} (3 lim_{x \to 81} \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9 \cdot 2)$

Passaggio 2.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 81} x} - lim_{x \to 81} 9 \cdot 2)$

Passaggio 2.5

Calcola il limite di $9 \cdot 2$ che è costante, mentre $x$ tende a $81$ .

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 81} x} - 9 \cdot 2)$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $81$ per $x$ .

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{81} - 9 \cdot 2)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{9^{2}} - 9 \cdot 2)$

Passaggio 4.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 9 - 9 \cdot 2)$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{1}{2} (27 - 9 \cdot 2)$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (27 - 18)$

Passaggio 4.2

Sottrai $18$ da $27$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9$

Passaggio 4.3

$\frac{1}{2}$ e $9$ .

$\frac{9}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{9}{2}$

Forma decimale:

$4.5$