Calcolo Esempi

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 1}$

Passaggio 1

Poiché $20$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 1}$ rispetto a $t$ è $20 \frac{d}{d t} [{(1 + e^{10 - t})}^{- 1}]$ .

$20 \frac{d}{d t} [{(1 + e^{10 - t})}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 1 + e^{10 - t}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $1 + e^{10 - t}$ .

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + e^{10 - t}$ .

$20 (- {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $20$ .

$- 20 ({(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{10 - t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}])$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}])$

Passaggio 3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 10 - t$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $10 - t$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [10 - t])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [10 - t])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $10 - t$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \frac{d}{d t} [10 - t])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 - t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]))$

Passaggio 5.2

Poiché $10$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $10$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (0 + \frac{d}{d t} [- t]))$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \frac{d}{d t} [- t])$

Passaggio 5.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 1$ per $- 20$ .

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Passaggio 5.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \cdot 1)$

Passaggio 5.7

Moltiplica $e^{10 - t}$ per $1$ .

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} e^{10 - t}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}} e^{10 - t}$

Passaggio 6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.2.1

$20$ e $\frac{1}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$ .

$\frac{20}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}} e^{10 - t}$

Passaggio 6.2.2

$\frac{20}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$ e $e^{10 - t}$ .

$\frac{20 e^{10 - t}}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$