Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - \cos (x)}{x^{2}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x^{2}} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x^{2}} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x^{2}} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{0^{2}} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{0^{2}} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{e^{0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x^{2}} - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{x^{2}} x + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.5.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2}} x + \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{2 x}$

Passaggio 2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{x}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.4

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.5

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.7

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.7.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.8.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot e^{0^{2}} + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.8.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot e^{0} + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.8.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.8.1.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.8.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.8.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}} + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}} + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x e^{x^{2}} + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x e^{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{x^{2}} \cdot 2 x + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{x^{2}} \cdot 2 x + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{1} x e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{1} x^{1} e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{1 + 1} e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.10

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} \cdot 2 \cdot e^{x^{2}} + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.11

Moltiplica $e^{x^{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} \cdot 2 e^{x^{2}} + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} \cdot 2 e^{x^{2}} + e^{x^{2}}) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} \cdot 2 e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5.4

Riordina i fattori in $4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{1}$

Passaggio 3.4

Dividi $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 4 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Passaggio 4.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Passaggio 4.4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Passaggio 4.5

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Passaggio 4.6

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Passaggio 4.7

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Passaggio 4.8

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{lim_{x \to 0} x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Passaggio 4.9

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Passaggio 4.10

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Passaggio 6.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot e^{0} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Passaggio 6.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot 1 + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Passaggio 6.1.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Passaggio 6.1.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 e^{0} + \cos (0))$

Passaggio 6.1.7

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1 + \cos (0))$

Passaggio 6.1.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 + \cos (0))$

Passaggio 6.1.9

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 + 1)$

Passaggio 6.2

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{1}{2} (2 + 1)$

Passaggio 6.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3$

Passaggio 6.4

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3}{2}$

Forma decimale:

$1.5$