Calcolo Esempi

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} - \frac{1}{4}}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per scrivere $x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Passaggio 1.2

$x^{2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}$

Passaggio 1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4 - 1}{4}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} (x + 2 x^{2}) \frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $x + 2 x^{2}$ per $\frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{(x + 2 x^{2}) \cdot 4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2.4

Calcola il limite inserendo $- \frac{1}{2}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- \frac{1}{2}$ per $x$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- \frac{1}{2}$ per $x$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.1.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1.4.1

Scomponi $2$ da $2^{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{\frac{- 1 + 1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$4 \frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.2.5.4

Dividi $0$ per $2$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 \frac{0}{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- \frac{1}{2}$ per $x$ .

$4 \frac{0}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$4 \frac{0}{4 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$4 \frac{0}{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \frac{0}{4 \frac{1}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 \frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 3.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$4 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$4 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$4 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1} = lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Passaggio 3.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Passaggio 3.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Passaggio 3.3.4.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Passaggio 3.3.5

Riordina i termini.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Passaggio 3.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} \cdot 4 - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.3.7.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.3.7.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.3.7.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + 0}$

Passaggio 3.3.9

Somma $8 x$ e $0$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta il termine $\frac{1}{8}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{x}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Passaggio 4.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Passaggio 4.4

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Passaggio 4.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $- \frac{1}{2}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- \frac{1}{2}$ per $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- \frac{1}{2}$ per $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$4 \frac{1}{4 (2)} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.1.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2))$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $2$ da $(4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

Passaggio 6.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi l'espressione.

$(4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)$

Passaggio 6.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$(- 4 (\frac{1}{2}) + 1) \cdot - 1$

Passaggio 6.5

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{- 4}{2} + 1) \cdot - 1$

Passaggio 6.6

Dividi $- 4$ per $2$ .

$(- 2 + 1) \cdot - 1$

Passaggio 6.7

Somma $- 2$ e $1$ .

$- 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1$