Calcolo Esempi

$\int \frac{(2 r - 1) \cos (\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6})}{\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6}} d r$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . Allora $d u_{1} = (24 r - 12) d r$ , quindi $\frac{1}{12} d u_{1} = (2 r - 1) d r$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{d}{d r} [3 {(2 r - 1)}^{2} + 6]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi ${(2 r - 1)}^{2}$ come $(2 r - 1) (2 r - 1)$ .

$\frac{d}{d r} [3 ((2 r - 1) (2 r - 1)) + 6]$

Passaggio 1.1.3

Espandi $(2 r - 1) (2 r - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r - 1) - 1 (2 r - 1)) + 6]$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r - 1)) + 6]$

Passaggio 1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Passaggio 1.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Passaggio 1.1.4.1.2

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.4.1.2.1

Sposta $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 (r \cdot r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Passaggio 1.1.4.1.2.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Passaggio 1.1.4.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Passaggio 1.1.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Passaggio 1.1.4.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r - 1 \cdot - 1) + 6]$

Passaggio 1.1.4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r + 1) + 6]$

Passaggio 1.1.4.2

Sottrai $2 r$ da $- 2 r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6]$

Passaggio 1.1.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$

Passaggio 1.1.6

Calcola $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)]$ .

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Passaggio 1.1.6.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $3 (4 r^{2} - 4 r + 1)$ rispetto a $r$ è $3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1]$ .

$3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1] + \frac{d}{d r} [6]$

Passaggio 1.1.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 r^{2} - 4 r + 1$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$3 (\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Passaggio 1.1.6.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $4 r^{2}$ rispetto a $r$ è $4 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$3 (4 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Passaggio 1.1.6.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (4 (2 r) + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Passaggio 1.1.6.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- 4 r$ rispetto a $r$ è $- 4 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Passaggio 1.1.6.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Passaggio 1.1.6.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $1$ rispetto a $r$ è $0$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Passaggio 1.1.6.8

Moltiplica $2$ per $4$ .

$3 (8 r - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Passaggio 1.1.6.9

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$3 (8 r - 4 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Passaggio 1.1.6.10

Somma $8 r - 4$ e $0$ .

$3 (8 r - 4) + \frac{d}{d r} [6]$

Passaggio 1.1.7

Poiché $6$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $6$ rispetto a $r$ è $0$ .

$3 (8 r - 4) + 0$

Passaggio 1.1.8

Semplifica.

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Passaggio 1.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (8 r) + 3 \cdot - 4 + 0$

Passaggio 1.1.8.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1.8.2.1

Moltiplica $8$ per $3$ .

$24 r + 3 \cdot - 4 + 0$

Passaggio 1.1.8.2.2

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$24 r - 12 + 0$

Passaggio 1.1.8.2.3

Somma $24 r - 12$ e $0$ .

$24 r - 12$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ per $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 12} d u_{1}$

Passaggio 2.2

Sposta $12$ alla sinistra di $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{12 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{12}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Passaggio 4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Passaggio 4.3

Sposta ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Passaggio 4.4

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Passaggio 4.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 4.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 5

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , quindi $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 5.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 5.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 5.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 5.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 5.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 5.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.8.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{12} \int 2 \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{12} (2 \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$2$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (\sin (u_{2}) + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$\frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

Passaggio 10

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 10.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{1}{6} \sin ({(3 {(2 r - 1)}^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}) + C$