Calcolo Esempi

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (x) = \frac{d}{d y} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

Passaggio 2

La derivata di $x$ rispetto a $y$ è $x'$ .

$x'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y^{4}}{4}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Passaggio 3.2.3

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Passaggio 3.2.4

$\frac{4}{4}$ e $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Passaggio 3.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Passaggio 3.2.5.2

Dividi $y^{3}$ per $1$ .

$y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{1}{8 y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{y^{2}}$ come ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{2}$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{- 4} (2 y))$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 4} y)$

Passaggio 3.3.7

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Passaggio 3.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{1 - 4})$

Passaggio 3.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 3})$

Passaggio 3.3.10

$- 2$ e $\frac{1}{8}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8} y^{- 3}$

Passaggio 3.3.11

$\frac{- 2}{8}$ e $y^{- 3}$ .

$y^{3} + \frac{- 2 y^{- 3}}{8}$

Passaggio 3.3.12

Sposta $y^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8 y^{3}}$

Passaggio 3.3.13

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $8$ .

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Passaggio 3.3.13.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{8 y^{3}}$

Passaggio 3.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.13.2.1

Scomponi $2$ da $8 y^{3}$ .

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{2 (4 y^{3})}$

Passaggio 3.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (4 y^{3})}$

Passaggio 3.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} + \frac{- 1}{4 y^{3}}$

Passaggio 3.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x' = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

Passaggio 5

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$