Calcolo Esempi

$x \cdot \sqrt{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $x \cdot \sqrt{x^{2} + 1}$ come funzione.

$f (x) = x \cdot \sqrt{x^{2} + 1}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x \cdot \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

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Passaggio 9.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x \cdot \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$