Calcolo Esempi

$- y = y^{3} - y^{2} + 3 x^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (- y) = \frac{d}{d x} (y^{3} - y^{2} + 3 x^{3})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} - y^{2} + 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$3 y^{2} y' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 y^{2} y' - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$3 y^{2} y' - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y' - (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + 3 (3 x^{2})$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + 9 x^{2}$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- y' = 9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $y'$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y' = - y'$

Passaggio 5.2

Somma $y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y' + y' = 0$

Passaggio 5.3

Sottrai $9 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' - 2 y y' + y' = - 9 x^{2}$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y' - 2 y y' + y'$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 2 y y' + y' = - 9 x^{2}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $- 2 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = - 9 x^{2}$

Passaggio 5.4.3

Eleva $y'$ alla potenza di $1$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = - 9 x^{2}$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' \cdot 1 = - 9 x^{2}$

Passaggio 5.4.5

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1 = - 9 x^{2}$

Passaggio 5.4.6

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 9 x^{2}$

Passaggio 5.5

Dividi per $3 y^{2} - 2 y + 1$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 9 x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $3 y^{2} - 2 y + 1$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 9 x^{2}$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 y + 1)}{3 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $3 y^{2} - 2 y + 1$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 y + 1)}{3 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$