Calcolo Esempi

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

$d$ e $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$\int \frac{d}{2 \sqrt{x}} \cdot x d x$

Passaggio 4.2

$\frac{d}{2 \sqrt{x}}$ e $x$ .

$\int \frac{d x}{2 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{d}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{d}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{2} \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 6.2.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{2} \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{2} \int x^{1 - \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2 - 1}{2}} d x$

Passaggio 6.2.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Passaggio 8.2

Riscrivi $\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$ come $\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

$\frac{1}{2}$ e $d$ .

$\frac{d}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $\frac{d}{2}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d \cdot 2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d \cdot 2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $d$ .

$\frac{2 \cdot d}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

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Passaggio 8.3.5.1

Scomponi $2$ da $2 d$ .

$\frac{2 (d)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.3.6

$\frac{d}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

$\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$