Calcolo Esempi

$e^{x} (e^{x} - 1)$

Passaggio 1

Scrivi $e^{x} (e^{x} - 1)$ come funzione.

$f (x) = e^{x} (e^{x} - 1)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{x} (e^{x} - 1) d x$

Passaggio 4

Sia $u = e^{x} - 1$ . Allora $d u = e^{x} d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = e^{x} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x} + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$e^{x}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x} - 1$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{2} + C$

Passaggio 7

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{x} (e^{x} - 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{2} + C$