Calcolo Esempi

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x$

Passaggio 4

Sia $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ è positivo.

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.2

Rimetti in ordine i termini.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

$\sec (t)$ e $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $\sec (t)$ per $\sec^{2} (t)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $\sec (t)$ per $\sec^{2} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.2.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\int \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 7

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 8

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Passaggio 9

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 10

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 12.2

Riordina $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Passaggio 13

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Passaggio 14

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 14.3

Riordina $\sec (t)$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 15

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 16

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Passaggio 18

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 19

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Passaggio 20

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Passaggio 21

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 22

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 23

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 24

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 25

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 25.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 26

Risolvendo $\int \sec^{3} (t) d t$ , troviamo che $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Passaggio 27

Moltiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Passaggio 28

Semplifica.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 29

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 29.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 30

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\sec (\arctan (2 x)) \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Passaggio 31

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (2 x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, 2 x)$ . Perciò, $\sec (\arctan (2 x))$ è $\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Passaggio 31.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Passaggio 31.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Passaggio 31.1.4

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} (2 x) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Passaggio 31.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Passaggio 31.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.6.1

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Passaggio 31.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Passaggio 31.1.6.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Passaggio 31.1.6.4

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

Passaggio 31.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Passaggio 31.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Passaggio 31.3.2

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Passaggio 31.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Passaggio 31.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Passaggio 31.4

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Passaggio 31.5

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Passaggio 31.6

$\frac{1}{4}$ e $\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Passaggio 31.7

Per scrivere $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Passaggio 31.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Passaggio 31.8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{4} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Passaggio 31.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2 + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Passaggio 31.10

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Passaggio 32

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

Passaggio 33

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$