Calcolo Esempi

$y = \sin (x) + \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6

Frazioni separate.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 8

Dividi $- 1$ per $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 9

Frazioni separate.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 10

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 11

Dividi $0$ per $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 12

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Passaggio 13

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = - 1$

Passaggio 14

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 14.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 14.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Passaggio 15

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 16

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 17

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 18

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 18.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 18.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 18.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 18.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 19

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Passaggio 20

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 21

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 21.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 21.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 21.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 21.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 21.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 21.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 21.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 21.2.3.2.4

Dividi $- \sqrt{2}$ per $1$ .

$- \sqrt{2}$

Passaggio 22

$x = \frac{π}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 23

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 23.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 23.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 23.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 23.2.2.2

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 23.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 23.2.2.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Passaggio 23.2.3

La risposta finale è $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Passaggio 24

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5 π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 25

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$- - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 25.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 25.1.3

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 25.1.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 25.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 25.1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 25.1.6

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 25.1.6.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 25.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 25.2.2

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 25.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 25.2.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 26

$x = \frac{5 π}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5 π}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 27

Trova il valore di y quando $x = \frac{5 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 27.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 27.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 27.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 27.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 27.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 27.2.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 27.2.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 27.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 27.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 27.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 27.2.2.3.2.4

Dividi $- \sqrt{2}$ per $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$

Passaggio 27.2.3

La risposta finale è $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Passaggio 28

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ è un massimo locale

$(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$ è un minimo locale

Passaggio 29