Calcolo Esempi

$y = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

$\frac{3}{2}$ e $x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3 x}{2})]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (\frac{3 x}{2})$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2})]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3 x}{2}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Passaggio 1.2.3.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$0 + 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3 x}{2}$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Passaggio 1.2.4

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \cdot 1))$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{3}{2})$

Passaggio 1.2.7

$\frac{3}{2}$ e $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$0 + 3 (- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2})$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$0 - 3 \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Passaggio 1.2.9

$- 3$ e $\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$0 + \frac{- 3 (3 \sin (\frac{3 x}{2}))}{2}$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$0 + \frac{- 9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Passaggio 1.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Passaggio 1.3

Sottrai $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ da $0$ .

$- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- \frac{9}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2})]$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{3 x}{2})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\cos (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$\cos (\frac{3 x}{2})$ e $\frac{9}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{3 x}{2}) \cdot 9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x}{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta $9$ alla sinistra di $\cos (\frac{3 x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{9 \cdot \cos (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x}{2}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (9 \cos (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.4.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot 1$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Dividi $\sin (\frac{3 x}{2})$ per $1$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{9}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Dividi $0$ per $9$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Passaggio 5.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{3 x}{2} = 0$

Passaggio 5.4

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 x = 0$

Passaggio 5.5

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 0$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x = 0$

Passaggio 5.6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

Passaggio 5.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 5.7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 5.7.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 5.7.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 5.7.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 5.7.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 5.7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1

Semplifica $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = \frac{2}{3} π$

Passaggio 5.7.2.2.1.2

$\frac{2}{3}$ e $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.8

La soluzione dell'equazione $\frac{3 x}{2} = 0$ .

$x = 0, \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 (0)}{2})}{4}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $2$ da $3 (0)$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})}{4}$

Passaggio 7.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})}{4}$

Passaggio 7.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})}{4}$

Passaggio 7.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})}{4}$

Passaggio 7.1.2.4

Dividi $3 \cdot (0)$ per $1$ .

$- \frac{27 \cos (3 \cdot (0))}{4}$

Passaggio 7.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- \frac{27 \cos (0)}{4}$

Passaggio 7.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{27 \cdot 1}{4}$

Passaggio 7.3

Moltiplica $27$ per $1$ .

$- \frac{27}{4}$

Passaggio 8

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 9

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot (0))$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $0$ .

$f (0) = - 1 + 3 \cos (0)$

Passaggio 9.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = - 1 + 3 \cdot 1$

Passaggio 9.2.1.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (0) = - 1 + 3$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 1$ e $3$ .

$f (0) = 2$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{2 π}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})}{4}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$3$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{4}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})}{4}$

Passaggio 11.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Riduci l'espressione $\frac{6 π}{3}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1

Scomponi $3$ da $6 π$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{4}$

Passaggio 11.3.1.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})}{4}$

Passaggio 11.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{4}$

Passaggio 11.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})}{4}$

Passaggio 11.3.2

Dividi $2 π$ per $1$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

Passaggio 11.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

Passaggio 11.4.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$- \frac{27 \cos (π)}{4}$

Passaggio 11.4.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \frac{27 (- \cos (0))}{4}$

Passaggio 11.4.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{27 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Passaggio 11.4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{27 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 11.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Moltiplica $27$ per $- 1$ .

$- \frac{- 27}{4}$

Passaggio 11.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{27}{4}$

Passaggio 11.6

Moltiplica $- - \frac{27}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{27}{4})$

Passaggio 11.6.2

Moltiplica $\frac{27}{4}$ per $1$ .

$\frac{27}{4}$

Passaggio 12

$x = \frac{2 π}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{2 π}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot \frac{2 π}{3})$

Passaggio 13.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Passaggio 13.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (π)))$

Passaggio 13.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Passaggio 13.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (π)$

Passaggio 13.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 (- \cos (0))$

Passaggio 13.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 13.2.1.5

Moltiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 13.2.1.5.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 - 3$

Passaggio 13.2.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 4$

Passaggio 13.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 14

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$ .

$(0, 2)$ è un massimo locale

$(\frac{2 π}{3}, - 4)$ è un minimo locale

Passaggio 15