Calcolo Esempi

$1 + \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ come ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Passaggio 2.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Passaggio 2.9

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.9.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Passaggio 2.9.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.9.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Passaggio 2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Passaggio 2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Passaggio 2.10

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)))$

Passaggio 2.11

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

Passaggio 2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

Passaggio 2.13

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.13.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)))$

Passaggio 2.13.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)))$

Passaggio 2.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)))$

Passaggio 2.15

Somma $1$ e $0$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1))$

Passaggio 2.16

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1))$

Passaggio 2.17

Moltiplica $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.18

Sposta ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.19

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{{(x + 1)}^{- 1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.20

Sposta ${(x + 1)}^{- 1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)})$

Passaggio 2.21

Moltiplica ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $x + 1$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.21.1

Sposta $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

Passaggio 2.21.2

Moltiplica $x + 1$ per ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.21.2.1

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

Passaggio 2.21.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.21.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.21.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

Passaggio 2.21.5

Somma $2$ e $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 2.22

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$0 - \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 2.23

Moltiplica $2$ per $2$ .

$0 - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Sottrai $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ da $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$