Calcolo Esempi

$\int 9 x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

Passaggio 1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x^{3} - 1$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = x^{3} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$9 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{3}$ e $9$ .

$\frac{9}{3} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $9$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{1} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$3 \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi $3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

$3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2.3.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - 1$ .

$2 {(x^{3} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$