Calcolo Esempi

${(x y)}^{x} = e$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d y} (e)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della potenza generalizzata secondo cui $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = x y$ e $g = x$ .

$\frac{d}{d y} [x y] (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$(x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(x + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la regola del prodotto a $x y$ .

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Passaggio 2.6.2

Applica la regola del prodotto a $x y$ .

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Passaggio 2.6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x^{1} x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Passaggio 2.6.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x^{1} x^{1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Passaggio 2.6.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x^{1 + 1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Passaggio 2.6.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$(x^{2} + y x' x) x^{x - 1} y^{x - 1} + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Passaggio 2.6.5

Riordina i termini.

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$

Passaggio 3

Poiché $e$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $e$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{x - 1} y^{x - 1} x^{2} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Passaggio 5.1.1.2

Moltiplica $x^{x - 1}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{2} x^{x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Passaggio 5.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Passaggio 5.1.1.2.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Passaggio 5.1.1.3

Moltiplica $x^{x - 1}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.1

Sposta $x$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x \cdot x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Passaggio 5.1.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1} x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Passaggio 5.1.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1 + x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Passaggio 5.1.1.3.3

Combina i termini opposti in $1 + x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x + 0} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Passaggio 5.1.1.3.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Passaggio 5.1.1.4

Moltiplica $y^{x - 1}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.4.1

Sposta $y$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y \cdot y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Passaggio 5.1.1.4.2

Moltiplica $y$ per $y^{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.4.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y^{1} y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Passaggio 5.1.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{1 + x - 1} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Passaggio 5.1.1.4.3

Combina i termini opposti in $1 + x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.4.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x + 0} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Passaggio 5.1.1.4.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Passaggio 5.1.2

Riordina i fattori in $x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $x^{x + 1} y^{x - 1}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Passaggio 5.3

Scomponi $x' x^{x} y^{x}$ da $x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $x' x^{x} y^{x}$ da $x' x^{x} y^{x}$ .

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x' x^{x} y^{x}$ da $x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x' x^{x} y^{x}$ da $x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

$x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Passaggio 5.4

Dividi per $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ ciascun termine in $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ ciascun termine in $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ .

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Passaggio 5.4.2.3

Elimina il fattore comune di $1 + \ln (x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Passaggio 5.4.2.3.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{x + 1}$ e $x^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Scomponi $x^{x}$ da $- x^{x + 1} y^{x - 1}$ .

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.1

Scomponi $x^{x}$ da $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ .

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

Passaggio 5.4.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{- x y^{x - 1}}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Passaggio 5.4.3.2

Elimina il fattore comune di $y^{x - 1}$ e $y^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Scomponi $y^{x}$ da $- x y^{x - 1}$ .

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Passaggio 5.4.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Passaggio 5.4.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{- x y^{- 1}}{1 + \ln (x y)}$

Passaggio 5.4.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Sposta $y^{- 1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x' = \frac{- x}{(1 + \ln (x y)) y}$

Passaggio 5.4.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$

Passaggio 5.4.3.3.3

Riordina i fattori in $- \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$ .

$x' = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$