Calcolo Esempi

$- (x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Passaggio 1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [(x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = \sin (\frac{x^{2}}{2})$ .

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x^{2}}{2})] + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$- ((x + 1) (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- ((x + 1) (\cos (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- ((x + 1) \cos (\frac{x^{2}}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.2

$\frac{1}{2}$ e $\cos (\frac{x^{2}}{2})$ .

$- ((x + 1) \frac{\cos (\frac{x^{2}}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- ((x + 1) \frac{\cos (\frac{x^{2}}{2})}{2} (2 x) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.4.1

$2$ e $\frac{\cos (\frac{x^{2}}{2})}{2}$ .

$- ((x + 1) \frac{2 \cos (\frac{x^{2}}{2})}{2} x + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.4.2

$x$ e $\frac{2 \cos (\frac{x^{2}}{2})}{2}$ .

$- ((x + 1) \frac{x (2 \cos (\frac{x^{2}}{2}))}{2} + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$- ((x + 1) \frac{x (2 \cos (\frac{x^{2}}{2}))}{2} + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.4.3.2

Dividi $x (\cos (\frac{x^{2}}{2}))$ per $1$ .

$- ((x + 1) (x (\cos (\frac{x^{2}}{2}))) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 4.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) (1 + 0))$

Passaggio 4.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \cdot 1)$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $\sin (\frac{x^{2}}{2})$ per $1$ .

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- ((x \cdot x + 1 x) \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}))$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- (x \cdot x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + 1 x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}))$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (x \cdot x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Passaggio 5.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- (x^{1} x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Passaggio 5.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- (x^{1} x^{1} \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Passaggio 5.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (x^{1 + 1} \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Passaggio 5.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$- (x^{2} \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Passaggio 5.4.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- x^{2} \cos (\frac{x^{2}}{2}) - x \cos (\frac{x^{2}}{2}) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$