Calcolo Esempi

$g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $G (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $g (x)$ .

$G (x) = \int g (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$G (x) = \int \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}} d x$

Passaggio 3

Sposta $x^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Passaggio 4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4} d x$

Passaggio 5

Espandi $(x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4}$ .

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{2} + 3 x) x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{2} x^{- 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{2 - 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 5.4

Sottrai $4$ da $2$ .

$\int x^{- 2} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 5.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{- 2} + 3 (x^{1} x^{- 4}) - 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 5.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{- 2} + 3 x^{1 - 4} - 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 5.7

Sottrai $4$ da $1$ .

$\int x^{- 2} + 3 x^{- 3} - 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$- x^{- 1} + C + 3 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 10.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 11

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 5$ fuori dall'integrale.

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{- 4} d x$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Semplifica.

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Passaggio 13.1.1

$x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Passaggio 13.1.2

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Passaggio 13.3

Semplifica.

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Passaggio 13.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + 5 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Passaggio 13.3.2

$5$ e $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$ .

$G (x) =$ $- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$