Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{2}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{5} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.3

$5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.5

$\frac{10}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.6

Elimina il fattore comune di $10$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Scomponi $5$ da $10 x^{4}$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.6.2.4

Dividi $2 x^{4}$ per $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{3}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $3$ per $16$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ e $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 (2 x)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $48$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 96 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $\frac{2}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{5} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.2.3

$5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.2.5

$\frac{10}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.2.6

Elimina il fattore comune di $10$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Scomponi $5$ da $10 x^{4}$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.2.6.2.4

Dividi $2 x^{4}$ per $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{3}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $3$ per $16$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{4}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $20 x^{3}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 48 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $2 x^{2}$ da $48 x^{2}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x)$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24)$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 24) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x^{2} + 10 x + 24$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $24$ e la cui somma è $10$ .

$4, 6$

Passaggio 5.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$2 x^{2} ((x + 4) (x + 6)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 5.6

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 5.6.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$ vera.

$x = 0, - 4, - 6$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 4, - 6$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$8 {(0)}^{3} + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$8 \cdot 0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $8$ per $0$ .

$0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 60 \cdot 0 + 96 (0)$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $60$ per $0$ .

$0 + 0 + 96 (0)$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $96$ per $0$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 8$ , dell'intervallo $(- \infty, - 6)$ nella derivata prima $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f' (- 8) = 2 {(- 8)}^{4} + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 8) = 2 \cdot 4096 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $4096$ .

$f' (- 8) = 8192 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Eleva $- 8$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 8) = 8192 + 20 \cdot - 512 + 48 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica $20$ per $- 512$ .

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.5

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 \cdot 64$

Passaggio 10.2.2.1.6

Moltiplica $48$ per $64$ .

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 3072$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Sottrai $10240$ da $8192$ .

$f' (- 8) = - 2048 + 3072$

Passaggio 10.2.2.2.2

Somma $- 2048$ e $3072$ .

$f' (- 8) = 1024$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $1024$ .

$1024$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 5$ , dell'intervallo $(- 6, - 4)$ nella derivata prima $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f' (- 5) = 2 {(- 5)}^{4} + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 5) = 2 \cdot 625 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $625$ .

$f' (- 5) = 1250 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 5) = 1250 + 20 \cdot - 125 + 48 {(- 5)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.4

Moltiplica $20$ per $- 125$ .

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 {(- 5)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.5

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 \cdot 25$

Passaggio 10.3.2.1.6

Moltiplica $48$ per $25$ .

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 1200$

Passaggio 10.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Sottrai $2500$ da $1250$ .

$f' (- 5) = - 1250 + 1200$

Passaggio 10.3.2.2.2

Somma $- 1250$ e $1200$ .

$f' (- 5) = - 50$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $- 50$ .

$- 50$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- 4, 0)$ nella derivata prima $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 2 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 2) = 2 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$f' (- 2) = 32 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = 32 + 20 \cdot - 8 + 48 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica $20$ per $- 8$ .

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.5

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 \cdot 4$

Passaggio 10.4.2.1.6

Moltiplica $48$ per $4$ .

$f' (- 2) = 32 - 160 + 192$

Passaggio 10.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.2.1

Sottrai $160$ da $32$ .

$f' (- 2) = - 128 + 192$

Passaggio 10.4.2.2.2

Somma $- 128$ e $192$ .

$f' (- 2) = 64$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $64$ .

$64$

Passaggio 10.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.5.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (2) = 2^{1 + 4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.5.2.1.1.2

Somma $1$ e $4$ .

$f' (2) = 2^{5} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.5.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f' (2) = 32 + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.5.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = 32 + 20 \cdot 8 + 48 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.5.2.1.4

Moltiplica $20$ per $8$ .

$f' (2) = 32 + 160 + 48 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.5.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 32 + 160 + 48 \cdot 4$

Passaggio 10.5.2.1.6

Moltiplica $48$ per $4$ .

$f' (2) = 32 + 160 + 192$

Passaggio 10.5.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.1

Somma $32$ e $160$ .

$f' (2) = 192 + 192$

Passaggio 10.5.2.2.2

Somma $192$ e $192$ .

$f' (2) = 384$

Passaggio 10.5.2.3

La risposta finale è $384$ .

$384$

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - 6$ , allora $x = - 6$ è un massimo locale.

$x = - 6$ è un massimo locale

Passaggio 10.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - 4$ , allora $x = - 4$ è un minimo locale.

$x = - 4$ è un minimo locale

Passaggio 10.8

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ .

$x = - 6$ è un massimo locale

$x = - 4$ è un minimo locale

$x = - 6$ è un massimo locale

$x = - 4$ è un minimo locale

Passaggio 11