Calcolo Esempi

$y = (x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \sin (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \sin (x))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3} + 4 + 5 x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 + 5 x^{2}]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 + 5 x^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 4 + 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Passaggio 3.3.4

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Passaggio 3.3.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2} + 5 (2 x))$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $2$ per $5$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2} + 10 x)$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} \cos (x) + 4 \cos (x) + 5 x^{2} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2} + 10 x)$

Passaggio 3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} \cos (x) + 4 \cos (x) + 5 x^{2} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2}) + \sin (x) (10 x)$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$x^{3} \cos (x) + 5 x^{2} \cos (x) + 3 x^{2} \sin (x) + 10 x \sin (x) + 4 \cos (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = x^{3} \cos (x) + 5 x^{2} \cos (x) + 3 x^{2} \sin (x) + 10 x \sin (x) + 4 \cos (x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{3} \cos (x) + 5 x^{2} \cos (x) + 3 x^{2} \sin (x) + 10 x \sin (x) + 4 \cos (x)$