Calcolo Esempi

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y} - y}{y^{2}} d y$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} - y}{y^{2}} d y$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $y^{\frac{1}{2}}$ da $y^{\frac{1}{2}} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y}{y^{2}} d y$

Passaggio 1.1.2.2

Scomponi $y^{\frac{1}{2}}$ da $- y$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

Passaggio 1.1.2.3

Scomponi $y^{\frac{1}{2}}$ da $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

Passaggio 1.2

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 1.3

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 - \frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 1.3.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 1.3.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 1.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d y$

Passaggio 1.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{4 - 1}{2}}} d y$

Passaggio 1.3.5.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

Passaggio 2

Sposta $y^{\frac{3}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d y$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d y$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 3.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d y$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 3}{2}} d y$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{3}{2}} d y$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{1}^{4} 1 y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Passaggio 4.2

Moltiplica $y^{- \frac{3}{2}}$ per $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Passaggio 4.3

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - (y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}}) d y$

Passaggio 4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d y$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1 - 3}{2}} d y$

Passaggio 4.6

Sottrai $3$ da $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 2}{2}} d y$

Passaggio 4.7

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 4.7.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d y$

Passaggio 4.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d y$

Passaggio 4.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d y$

Passaggio 4.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 1}{1}} d y$

Passaggio 4.7.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{- 1} d y$

Passaggio 4.8

Riordina $y^{- \frac{3}{2}}$ e $- y^{- 1}$ .

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} + y^{- \frac{3}{2}} d y$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{4} y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Passaggio 7

L'integrale di $y^{- 1}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- \frac{3}{2}}$ rispetto a $y$ è $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1.1

Calcola $\ln (| y |)$ per $4$ e per $1$ .

$- ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |)) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Passaggio 9.1.2

Calcola $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ per $4$ e per $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + - 2 \cdot 4^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.1.3

Semplifica.

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Passaggio 9.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.1.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.1.3.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{1}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.1.3.5

Calcola l'esponente.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.1.3.6

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 2}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.1.3.7

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 9.1.3.7.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.1.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.1.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.1.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.1.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 1}{1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.1.3.7.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.1.3.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.3.9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2$

Passaggio 9.1.3.10

Somma $- 1$ e $2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + 1$

Passaggio 9.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) + 1$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$- \ln (\frac{4}{| 1 |}) + 1$

Passaggio 9.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$- \ln (\frac{4}{1}) + 1$

Passaggio 9.3.3

Dividi $4$ per $1$ .

$- \ln (4) + 1$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \ln (4) + 1$

Forma decimale:

$- 0.38629436 \dots$

Passaggio 11