Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{(5 x - 3) (3 - 4 x)} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{5 x - 3}$

Passaggio 1.1.2

$\frac{A}{5 x - 3} + \frac{B}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(5 x - 3) (3 - 4 x)$ .

$\frac{1 (5 x - 3) (3 - 4 x)}{(5 x - 3) (3 - 4 x)} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $5 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (5 x - 3) (3 - 4 x)}{(5 x - 3) (3 - 4 x)} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (3 - 4 x)}{3 - 4 x} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $3 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (3 - 4 x)}{3 - 4 x} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $5 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.1.6.1.2

Dividi $(A) (3 - 4 x)$ per $1$ .

$1 = (A) (3 - 4 x) + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A \cdot 3 + A (- 4 x) + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$1 = 3 \cdot A + A (- 4 x) + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.1.6.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 3 \cdot A - 4 A x + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.1.6.5

Elimina il fattore comune di $3 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = 3 A - 4 A x + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.1.6.5.2

Dividi $(B) (5 x - 3)$ per $1$ .

$1 = 3 A - 4 A x + (B) (5 x - 3)$

Passaggio 1.1.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 3 A - 4 A x + B (5 x) + B \cdot - 3$

Passaggio 1.1.6.7

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 3 A - 4 A x + 5 B x + B \cdot - 3$

Passaggio 1.1.6.8

Sposta $- 3$ alla sinistra di $B$ .

$1 = 3 A - 4 A x + 5 B x - 3 B$

Passaggio 1.1.7

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta $A$ .

$1 = 3 A - 4 x A + 5 B x - 3 B$

Passaggio 1.1.7.2

Sposta $B$ .

$1 = 3 A - 4 x A + 5 x B - 3 B$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $3 A$ .

$1 = - 4 x A + 5 x B + 3 A - 3 B$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 4 A + 5 B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 3 A - 3 B$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = - 4 A + 5 B$

$1 = 3 A - 3 B$

$0 = - 4 A + 5 B$

$1 = 3 A - 3 B$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = - 4 A + 5 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 A + 5 B = 0$ .

$- 4 A + 5 B = 0$

$1 = 3 A - 3 B$

Passaggio 1.3.1.2

Sottrai $5 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 A = - 5 B$

$1 = 3 A - 3 B$

Passaggio 1.3.1.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 A = - 5 B$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 A = - 5 B$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Passaggio 1.3.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Passaggio 1.3.1.3.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Passaggio 1.3.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{5 B}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = 3 A - 3 B$ con $\frac{5 B}{4}$ .

$1 = 3 (\frac{5 B}{4}) - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica $3 (\frac{5 B}{4}) - 3 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Moltiplica $3 (\frac{5 B}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.1

$3$ e $\frac{5 B}{4}$ .

$1 = \frac{3 (5 B)}{4} - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$1 = \frac{15 B}{4} - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{15 B}{4} - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Per scrivere $- 3 B$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$1 = \frac{15 B}{4} - 3 B \cdot \frac{4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.3.1

$- 3 B$ e $\frac{4}{4}$ .

$1 = \frac{15 B}{4} + \frac{- 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 = \frac{15 B - 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{15 B - 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.2.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.4.1

Scomponi $3 B$ da $15 B - 3 B \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.4.1.1

Scomponi $3 B$ da $15 B$ .

$1 = \frac{3 B (5) - 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.2.2.1.4.1.2

Scomponi $3 B$ da $- 3 B \cdot 4$ .

$1 = \frac{3 B (5) + 3 B (- 1 \cdot 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.2.2.1.4.1.3

Scomponi $3 B$ da $3 B (5) + 3 B (- 1 \cdot 4)$ .

$1 = \frac{3 B (5 - 1 \cdot 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B (5 - 1 \cdot 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.2.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$1 = \frac{3 B (5 - 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.2.2.1.4.3

Sottrai $4$ da $5$ .

$1 = \frac{3 B \cdot 1}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.2.2.1.4.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = \frac{3 B}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{3 B}{4} = 1$ .

$\frac{3 B}{4} = 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 B}{4} = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.3.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1.1

Semplifica $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 B}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 B}{4} = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.3.3.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \cdot (3 B) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$\frac{1}{3} \cdot (3 B) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 B$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 (B)) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \cdot (3 B) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $1$ .

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{4}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = \frac{5 B}{4}$ con $\frac{4}{3}$ .

$A = \frac{5 (\frac{4}{3})}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $\frac{5 (\frac{4}{3})}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

$5$ e $\frac{4}{3}$ .

$A = \frac{\frac{5 \cdot 4}{3}}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Moltiplica $5$ per $4$ .

$A = \frac{\frac{20}{3}}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Passaggio 1.3.4.2.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$A = \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Passaggio 1.3.4.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$A = \frac{4 (5)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Passaggio 1.3.4.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$A = \frac{4 \cdot 5}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Passaggio 1.3.4.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{5}{3}, B = \frac{4}{3}$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{5 x - 3} + \frac{B}{3 - 4 x}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{5}{3}}{5 x - 3} + \frac{\frac{4}{3}}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{5 x - 3} + \frac{\frac{4}{3}}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per $\frac{1}{5 x - 3}$ .

$\frac{5}{3 (5 x - 3)} + \frac{\frac{4}{3}}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{5}{3 (5 x - 3)} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3 - 4 x}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{1}{3 - 4 x}$ .

$\int \frac{5}{3 (5 x - 3)} + \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{5}{3 (5 x - 3)} d x + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{5}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{5}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{5 x - 3} d x + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = 5 x - 3$ . Allora $d u_{1} = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = 5 x - 3$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $5 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $5$ e $0$ .

$5$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{5} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 5} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Passaggio 5.2

Sposta $5$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{5 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{3} (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{5 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{5}{15} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $5$ e $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (1)}{15} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Passaggio 7.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Scomponi $5$ da $15$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Passaggio 7.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Passaggio 9

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{4}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Passaggio 10

Sia $u_{2} = 3 - 4 x$ . Allora $d u_{2} = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{2} = 3 - 4 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $3 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

Passaggio 10.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 10.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 10.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Passaggio 10.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Passaggio 10.1.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$0 - 4$

Passaggio 10.1.4

Sottrai $4$ da $0$ .

$- 4$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Passaggio 11.3

Sposta $4$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int - \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} (- \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

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Passaggio 14.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4 (1)}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 14.3.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 15

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 16

Semplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 17

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 17.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x - 3$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 x - 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 17.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 - 4 x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 x - 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 - 4 x |) + C$