Calcolo Esempi

$\int x \sqrt[3]{3 - 2 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 3 - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 3 - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$0 - 2$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 2.2

$\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (\frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \int - \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Passaggio 5.2

$- \frac{u}{2}$ e $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ .

$- \int - \frac{u \cdot u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Passaggio 5.3

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$- \int - \frac{u^{1} u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Passaggio 5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \int - \frac{u^{1 + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Passaggio 5.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Passaggio 5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \int - \frac{u^{\frac{3 + 1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Passaggio 5.7

Somma $3$ e $1$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Passaggio 5.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Passaggio 5.9

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} d u$

Passaggio 5.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u$

Passaggio 5.11

Riordina $- \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4}$ e $\frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$- \int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- (\int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{3}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{3}{4}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{3}{4} \int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Passaggio 9

$\frac{3}{4}$ e $u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{4}{3}} d u))$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{4}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

$\frac{3}{7}$ e $u^{\frac{7}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C))$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$- (\frac{9 u^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$- (\frac{9}{16} u^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} u^{\frac{7}{3}}) + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 - 2 x$ .

$- (\frac{9}{16} {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 16.1.1

$\frac{9}{16}$ e ${(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

Passaggio 16.1.2

${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ e $\frac{3}{28}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3}{28}) + C$

Passaggio 16.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di ${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

Passaggio 16.2

Per scrivere $\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

Passaggio 16.3

Per scrivere $- \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Passaggio 16.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $112$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 16.4.1

Moltiplica $\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ per $\frac{7}{7}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{16 \cdot 7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Passaggio 16.4.2

Moltiplica $16$ per $7$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Passaggio 16.4.3

Moltiplica $\frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ per $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{28 \cdot 4}) + C$

Passaggio 16.4.4

Moltiplica $28$ per $4$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112}) + C$

Passaggio 16.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

Passaggio 16.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 16.6.1

Moltiplica $7$ per $9$ .

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

Passaggio 16.6.2

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$- \frac{1}{112} (63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$