Calcolo Esempi

$\int {(2 x - 3)}^{3} x d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x - 3$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x - 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{3} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\frac{1}{2}$ e $u^{3}$ .

$\int \frac{u^{3}}{2} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{u^{3}}{2}$ per $\frac{u}{2}$ .

$\int \frac{u^{3} u}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Passaggio 3.3

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{u^{3} u^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Passaggio 3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{u^{3 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Passaggio 3.5

Somma $3$ e $1$ .

$\int \frac{u^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Passaggio 3.7

Moltiplica $\frac{u^{3}}{2}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3} \cdot 3}{2 \cdot 2} d u$

Passaggio 3.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3} \cdot 3}{4} d u$

Passaggio 4

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{3}$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{u^{4}}{4} d u + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int u^{4} d u + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{3}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{3}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{3}{4} \int u^{3} d u$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{3}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 5} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{4 \cdot 4} u^{4} + C$

Passaggio 10.2.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{16} u^{4} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 3$ .

$\frac{1}{20} {(2 x - 3)}^{5} + \frac{3}{16} {(2 x - 3)}^{4} + C$