Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - x} d x$

Passaggio 1

Dividi $x^{2} + 1$ per $x^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					+	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - x + 0$

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$

Passaggio 1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

Passaggio 4

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 4.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x \cdot x - x}$

Passaggio 4.1.1.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{x + 1}{x \cdot x + x \cdot - 1}$

Passaggio 4.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{x + 1}{x (x - 1)}$

Passaggio 4.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x - 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.5.2

Dividi $x + 1$ per $1$ .

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.6.1.2

Dividi $A (x - 1)$ per $1$ .

$x + 1 = A (x - 1) + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.6.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.6.4

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$x + 1 = A x - A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.6.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$x + 1 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.6.5.2

Dividi $(B) (x)$ per $1$ .

$x + 1 = A x - A + (B) (x)$

$x + 1 = A x - A + B x$

Passaggio 4.1.7

Sposta $- A$ .

$x + 1 = A x + B x - A$

Passaggio 4.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 4.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 4.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 1 A$

Passaggio 4.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

Passaggio 4.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = - 1 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.1.2.2.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = A + B$ con $- 1$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = - 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + B = 1$ .

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.3.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 2 A = - 1$

Passaggio 4.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 2, A = - 1$

Passaggio 4.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1}$

Passaggio 4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x + C + \int - \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x + C + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x + C - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$x + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 9

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 9.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C$